ZF公理系で実数を構築するまでのステップ(リンク集)

Published: 2022/1/22


ZF 公理系は、8つの文を公理として採用し、一階の述語論理としての推論によって導出されるもののみを定理としよう、という数学の体系。 選択公理を含めずとも実数の公理まで示せるので、それについての備忘録。

例えば、公理系から直接、空集合 ϕ\phi の存在が定義され、かつ、外延公理によって、他に空集合としての性質を満たすものがあれば、それは空集合に他ならないことが示される。 無限公理と共通集合の公理から、自然数全体が集合として存在することが示される。

上記のように、再帰的な定義によって自然数上の演算(関数)が定義されることが分かる。 数学的帰納法を用いていくことで、さらに乗算や除算、引いては有理数全体が定義されていく。

有理数全体から、その部分集合であって、デデキント切断になっているものをあつめてくることで、それを実数とみなすことができる。 その実、これは実数の公理を満たす。

補足

ルベーグ可測であるところまで選択公理がなくても well defined に定義できるっぽい。


Tags: 数学

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