ZF公理系で実数を構築するまでのステップ(リンク集)

Published: 2022/1/22

ZF 公理系は、8つの文を公理として採用し、一階の述語論理としての推論によって導出されるもののみを定理としよう、という数学の体系。選択公理を含めずとも実数の公理まで示せるので、それについての備忘録。

例えば、公理系から直接、空集合 $\phi$ の存在が定義され、かつ、外延公理によって、他に空集合としての性質を満たすものがあれば、それは空集合に他ならないことが示される。無限公理と共通集合の公理から、自然数全体が集合として存在することが示される。

写像の再帰的定義がなぜ許されるのか｜漸化式を満たす写像の存在と一意性 | 蛍雪に染まる。

今日の目標再帰的定義を正当化する。再帰的定義って本当にやっていいの？写像の定義って定義集合 $A, B$ の直積 $A \times B$ の部分集合 $f$ が、各 ...

sorai-note.com

上記のように、再帰的な定義によって自然数上の演算(関数)が定義されることが分かる。数学的帰納法を用いていくことで、さらに乗算や除算、引いては有理数全体が定義されていく。

デデキント切断による実数の構成・その演算が完備順序体をなすことの証明・そしてコーシー列との関係 - 数学してよアライㄜん

デデキント切断で実数を構成した後に順序と演算を入れ、完備な順序体にしたのだ。そのあと有理コーシー列との関わりを見たのだ。完備順序体やコーシー列の収束などの証明を全部書いたから文字数は多いけど見ていってほしいのだ。優しい証明が多いから自明だと思ったら飛ばしてもらって構わないのだ有理数アルキメデス性コーシー列数列の収束有理数の悲劇コーシー列が収束しないのだ連結じゃないのだ切断実数の構成と特徴付け挟み撃ち実数の特徴づけ正の実数の特徴づけ構造順序関係実数の実数による実数のための簡潔な表現連続性(完備性) アルキメデス性加法交換法則(可換性) 結合法則(結合律) 単位…

arai-no-math.hatenablog.jp

有理数全体から、その部分集合であって、デデキント切断になっているものをあつめてくることで、それを実数とみなすことができる。その実、これは実数の公理を満たす。

補足

選択公理を使わずにLebesgue非可測集合を構成することはできますか？ - うろ覚えですが、何かの測度論だかルベーグ積分の本だかで、... - Yahoo!知恵袋

選択公理を使わずにLebesgue非可測集合を構成することはできますか？うろ覚えですが、何かの測度論だかルベーグ積分の本だかで、選択公理を認めない公理系ですべての集合がLebesgue可測であるとしても矛盾を生じないことが誰それによって証明されている、とか書いてあるのを見たことがある気がするので、選択公理を使わずに構成することはできないのだろうと思います。

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