ヒルベルト空間上の超平面と点の距離

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ヒルベルト空間

内積が定義されるベクトル空間の一般化。

  • x,yH.x,y=y,x\forall x, y \in H.\,\, \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}
  • x,yHa,bC.ax1+bx2,y=ax1,y+bx2,y\forall x, y \in H\,\, a, b \in \mathbb{C}.\,\, \langle ax_1 + bx_2, y \rangle = a\langle x_1, y \rangle + b \langle x_2, y \rangle
  • xH.x,x0;x,x=0    x=0\forall x \in H.\,\, \langle x, x \rangle \geq 0; \langle x, x \rangle = 0 \iff x = \bm{0}

SVM

w,xHb=0\langle \bm{w}, \bm{x} \rangle_{\mathcal{H}} - b = 0

の超平面で対象データを分離し、その平面から直近のデータ点への距離であるマージンを最大化する手法。

複素ベクトルの内積

x,yCn\bm{x}, \bm{y} \in \mathbb{C}^n に対して、

x,y=xTy\langle \bm{x}, \bm{y} \rangle \coloncolonequals \bm{x}^T\overline{\bm{y}}

これは、ヒルベルト空間の内積の定義を満たす。

リースの表現定理

あるヒルベルト空間 HH が与えられたとき、それ上の連続線形汎関数 fHf \in H^{*} は、 HH 上のある点 x0x_0 がただひとつ存在して、 f(x)=x,x0f(x) = \langle x, x_0 \rangle を満たす。

再生核ヒルベルト空間

(なにこれ): 正定値カーネルに対して 1 対 1 で定義されるヒルベルト空間