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グラム行列

G=A∗AG = A^{*}A

これはつまり、 A={v1,…,vn}A = \{ \bm{v_1}, \dots, \bm{v_n} \} であったとき、それぞれの内積を取った以下のこと。

G=(⟨v1,v1⟩⋯⟨vn,v1⟩⋮⋱⋮⟨v1,vn⟩⋯⟨vn,vn⟩)G = \begin{pmatrix} \langle \bm{v_1}, \bm{v_1} \rangle & \cdots & \langle \bm{v_n}, \bm{v_1} \rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle \bm{v_1}, \bm{v_n} \rangle & \cdots & \langle \bm{v_n}, \bm{v_n} \rangle \end{pmatrix}

(証明) 第 (i,j)(i, j) 成分について、 vi∗vj=(vi∗vj)∗‾=vj∗vi‾=vjTvi‾=⟨vj,vi⟩\bm{v_i}^{*}\bm{v_j} = \overline{(\bm{v_i}^{*}\bm{v_j})^{*}} = \overline{\bm{v_j}^{*}\bm{v_i}} = \bm{v_j}^T\overline{\bm{v_i}} = \langle \bm{v_j}, \bm{v_i} \rangle

いろいろな性質:

https://mathlandscape.com/gram-matrix/

  • 任意のベクトル x∈Cn\bm{x} \in \mathbb{C}^n に対して、 x∗Gx≥0\bm{x}^{*}G\bm{x} \geq 0

Related Scraps:

ヒルベルト空間

内積が定義されるベクトル空間の一般化。

  • ∀x,y∈H.  ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾\forall x, y \in H.\,\, \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}
  • ∀x,y∈H  a,b∈C.  ⟨ax1+bx2,y⟩=a⟨x1,y⟩+b⟨x2,y⟩\forall x, y \in H\,\, a, b \in \mathbb{C}.\,\, \langle ax_1 + bx_2, y \rangle = a\langle x_1, y \rangle + b \langle x_2, y \rangle
  • ∀x∈H.  ⟨x,x⟩≥0;⟨x,x⟩=0  ⟺  x=0\forall x \in H.\,\, \langle x, x \rangle \geq 0; \langle x, x \rangle = 0 \iff x = \bm{0}

複素ベクトルの内積

x,y∈Cn\bm{x}, \bm{y} \in \mathbb{C}^n に対して、

⟨x,y⟩∷=xTy‾\langle \bm{x}, \bm{y} \rangle \coloncolonequals \bm{x}^T\overline{\bm{y}}

これは、ヒルベルト空間の内積の定義を満たす。