ヒルベルト空間

内積が定義されるベクトル空間の一般化。

  • x,yH.x,y=y,x\forall x, y \in H.\,\, \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}
  • x,yHa,bC.ax1+bx2,y=ax1,y+bx2,y\forall x, y \in H\,\, a, b \in \mathbb{C}.\,\, \langle ax_1 + bx_2, y \rangle = a\langle x_1, y \rangle + b \langle x_2, y \rangle
  • xH.x,x0;x,x=0    x=0\forall x \in H.\,\, \langle x, x \rangle \geq 0; \langle x, x \rangle = 0 \iff x = \bm{0}

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93

実用的には、ルベーグ積分値が有限になるような関数の集合をヒルベルト空間として扱うことで、いろいろな解析が可能になる。

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ヒルベルト空間上の超平面と点の距離

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複素ベクトルの内積

x,yCn\bm{x}, \bm{y} \in \mathbb{C}^n に対して、

x,y=xTy\langle \bm{x}, \bm{y} \rangle \coloncolonequals \bm{x}^T\overline{\bm{y}}

これは、ヒルベルト空間の内積の定義を満たす。

リースの表現定理

あるヒルベルト空間 HH が与えられたとき、それ上の連続線形汎関数 fHf \in H^{*} は、 HH 上のある点 x0x_0 がただひとつ存在して、 f(x)=x,x0f(x) = \langle x, x_0 \rangle を満たす。

再生核ヒルベルト空間

(なにこれ): 正定値カーネルに対して 1 対 1 で定義されるヒルベルト空間

グラム行列

G=AAG = A^{*}A

atan2

平面座標系に対して、極座標の角度を求めたくなったときに用いる関数。 他の関数を経由すると誤差を気にしなくてはならないので、それ用の関数として用意されたのがこれ。

カメラ内部パラメータ

カメラ座標(カメラの視点)からカメラ画像への各対象点の射影において、その変換を表す行列の数値。

同次座標系

並行移動なども表現できるようにするために、 N+1 次元で対象データを表現すること。

ハフ変換

r=xcos(θ)+ysin(θ)r = x \cos(\theta) + y \sin(\theta)

代表的なのは、上記式による直線の検出手法。

最小二乗法

ある回帰モデルの予測値が、そのモデルのパラメータに対して線形結合の形をしているとき、観測データの残差の二乗を最小化することは、凸関数の最小値を求める問題に帰着するので、微分して 0 になる点を求める行う手法。

三角関数の合成公式

acos(θ)+bsin(θ)=a2+b2sin(θ+α)a \cos(\theta) + b \sin(\theta) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)

ただし、α\alphasin(α)=aa2+b2\sin(\alpha) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}cos(α)=ba2+b2\cos(\alpha) = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} を満たす関数。