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リースの表現定理

あるヒルベルト空間 HH が与えられたとき、それ上の連続線形汎関数 f∈H∗f \in H^{*} は、 HH 上のある点 x0x_0 がただひとつ存在して、 f(x)=⟨x,x0⟩f(x) = \langle x, x_0 \rangle を満たす。

具体例

ヒルベルト空間を有界関数全体として、線形汎関数を [a,b][a, b] の定積分操作とするときにもこれが当てはまり、ある関数 ff が存在して、 ff との内積操作でもって任意の関数の積分値を計算できる。

(その実、 [a,b][a,b] で 11, それ以外で 00 になるような関数のことである)

参考

http://yeaf.web.fc2.com/sub1.html

  • 「Hilbert空間とRieszの表現定理」

Related Scraps:

ヒルベルト空間

内積が定義されるベクトル空間の一般化。

  • ∀x,y∈H.  ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾\forall x, y \in H.\,\, \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}
  • ∀x,y∈H  a,b∈C.  ⟨ax1+bx2,y⟩=a⟨x1,y⟩+b⟨x2,y⟩\forall x, y \in H\,\, a, b \in \mathbb{C}.\,\, \langle ax_1 + bx_2, y \rangle = a\langle x_1, y \rangle + b \langle x_2, y \rangle
  • ∀x∈H.  ⟨x,x⟩≥0;⟨x,x⟩=0  ⟺  x=0\forall x \in H.\,\, \langle x, x \rangle \geq 0; \langle x, x \rangle = 0 \iff x = \bm{0}

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https://yamagensakam.hatenablog.com/entry/2021/07/25/184016

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x,y∈Cn\bm{x}, \bm{y} \in \mathbb{C}^n に対して、

⟨x,y⟩∷=xTy‾\langle \bm{x}, \bm{y} \rangle \coloncolonequals \bm{x}^T\overline{\bm{y}}

これは、ヒルベルト空間の内積の定義を満たす。