位相空間における収束の定義

位相空間

(X, \mathcal{O})

において、有向点族

(x_{\lambda})

が以下を満たすとき、

(x_{\lambda})

は

x

に収束する、という。

$x$ の任意の近傍 $U$ に対して、ある $\lambda$ が存在し、 $\gamma \geq \lambda \implies x_{\gamma} \in U$

補足: 収束したからと言って、一意とは限らない。

Related Scraps:

有向点族

$X$ 上の族 $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ であって、 $\Lambda$ が有向集合のもの。

ボルツァーノ-ワイエルシュトラス

位相空間上の任意の有向点族が、収束する部分有向点族を持つとき、この性質を指す言葉。コンパクト性の定義の一つ。

コンパクト

位相空間がコンパクトであるとは、

ボルツァーノ-ワイエルシュトラス性を満たす
ハイネボレル性を満たす

が成立すること。この2つの条件は同値。

cluster point

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ 上の有向点族 $(x_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}$ に対して、その任意の近傍 $U$ に対して、 $(x_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}$ is frequently in $U$ を満たすような点 $x$ のこと。

ハイネボレル

位相空間

(X, \mathcal{O})

の任意の開被覆

S

に対して、その有限部分集合

T

が存在し、

T

は

X

を被覆する。